В.И.Сушков
СПбГТУ

Строим Жорданову башню:   снизу вверх и сверху вниз.

Предисловие

Обозначения

Необходимые сведения

Два новых понятия

1. Жорданова форма (вид) матрицы оператора.

2. Жорданов базис, Жорданова башня.

Структура произвольной отдельной башни

Принципы связи "башенной" схемы с Жордановой формой матрицы

Строительство снизу вверх

Неприятная неожиданность

Строительство сверху вниз

Пример строительства снизу вверх

Пример строительства сверху вниз

Напоследок

ПРЕДИСЛОВИЕ

В математике, как и в любом другом ремесле, есть знания, которые передаются от учителя ученику только в устной форме. По-видимому к таким сегодня принадлежит теория Жордановой нормальной формы матрицы. Во всяком случае, мне не известно ни одного учебника и ни одного задачника, в которых бы простыми словами описывалось, как строить Жорданов базис в учебных задачах. А решение задач очень важно для понимания этой темы. Некоторые мои коллеги писали в своих пособиях о том, как решать такие задачи. Но каждый раз баланс между строгостью, доказательностью и понятностью нарушался в пользу первых, - все мы ходим под Дамокловым мечом возможных упреков в нестрогости и, следовательно, неправильности. Так и не появилось в моем поле зрения простой книжки на эту тему, к которой я мог бы отослать студента. Делать нечего - пришлось проявить храбрость: писать самому, не глядя на вышеупомянутый режущий инструмент. Что получилось - пусть судит читатель - студент. Повторить мою речь в аудитории здесь мне не удалось. Там я гораздо больше картинок на доске рисую и, пользуясь 45-минутным отсутствием над головой вышеупомянутого инструмента базарной конкуренции,  руками размахиваю и показываю. А здесь пришлось бы мультипликацию делать - очень тяжко. Может, в будущем...

[Пояснение студенту, зачем все это надо. ]

[Замечание для преподавателей. ]

Договоренность по обозначениям:

Матрицы обозначаем большими  буквами A, B, C, S, J, E. У нас здесь используются только квадратные матрицы. Равенство A=0 означает, что матрица A - нулевая. Большой буквой E везде обозначена единичная матрица.

Линейные операторы обозначаем точно так же. Это не вызовет путаницы.

Столбцы чисел тоже обозначаем большими   буквами X, Y, X₀ . Это не вызовет путаницы с квадратными матрицами, потому что единственное их сочетание, которым мы будем пользоваться, имеет вид A^k X. Везде здесь столбец чисел мы трактуем

1. либо как точку пространства (набор координат точки)
2. либо как радиус- вектор точки (набор координат радиус-вектора точки). 

Векторы мы будем обозначать малыми жирными буквами e, i, j, k. У нас вектор - практически то же самое, что и столбец его координат. И хотя при замене одной прямолинейной системы координат другой прямолинейной системой координат у вектора меняются координаты (т.е. столбец координат), эти соглашения об обозначениях не вызовут никакой путаницы. Равенство s=0 означает, что s - нулевой вектор. Поскольку при заменах системы координат мы оставляем их начало на одном месте, нулевой вектор у нас всегда имеет нулевые координаты.

Множества мы обозначаем фигурныи скобками. Так, для линейного оператора Y = AX мы обозначаем область его определения {X} (множество всевозможных векторов X, векторное пространство иксов).  Обозначение {Y} мы используем для множества всевозможных векторов Y, т.е. пространства, в котором лежат образы иксов. Не путайте его, пожалуйста, с множеством значений оператора AX, которое из-за вырожденности матрицы A может быть всего лишь подпространством A{X} = {Y | Y=AX} пространства {Y} (например, образом трехмерного пространства при разных линейных отображениях могут быть трехмерное пространство, плоскость, прямая, точка 0).

Вспомогательные сведения

Для понимания дальнейшего нужны следующие знания и навыки:

0. Параметрические уравнения прямых, плоскостей, гиперплоскостей, линейных многообразий. Алгебраическое и геометрическое определения линейности оператора. Матрица линейного оператора.

1. Собственное число матрицы (оператора) и собственный вектор матрицы (оператора).

2. Смысл столбцов матрицы линейного оператора ( = рецепт построения матриц линейных операторов).

3. Линейная замена аргумента X линейного оператора AX и замена базиса в пространстве аргументов {X}. Те же замены для случая линейного отображения пространства {X} в себя.

Теперь вводим два новых понятия

1. Жорданова форма (вид) матрицы оператора.

Для всякого линейного оператора можно найти такой базис, в котором его матрица имеет следующий вид (форму):

a). Матрица блочно-диагональная (т.е. на диагонали стоят квадратные блоки, вне них - нули). Эти блоки  называют еще  ящиками (наподобие ящиков с ячейками для бутылок).

b). Каждый ящик имеет на диагонали одно и то же число - собственное число матрицы, причем размер ящика равен кратности собственного числа, как корня характеристического полинома. Ящики отличаются по соответствующему им собственному числу матрицы.

c). Сбоку от диагонали, на побочной диагонали (обычно сверху) стоят единички, но не обязательно сплошняком, так что ящик оказывается также блочно-диагональной матрицей. Маленькие блоки на диагонали ящика будем называть ячейками.

Приведу примеры матриц, уже имеющих Жорданов вид. 

Это Жорданова матрица для некоего оператора, у которого собственное число (-7) имеет кратность 4. Она - один сплошной ящик, состоящий из двух ячеек (выделены  цветом).

А вот пример матрицы, состоящей из двух ящиков:  

Первый ящик соответствует собственному числу 5  кратности 2 и состоит из одной ячейки. Второй ящик соответствует собственному числу 4 кратности 2 (стоит на диагонали) и состоит из двух ячеек размера один (в ящике нет единичек на побочной диагонали). (Ячейки выделены цветом, разные ящики - разными цветами).

Жорданова форма может иметь все ячейки  единичного размера. Например, некий оператор с собственным числом 3 кратности 4 может иметь Жорданову форму вида: 

Эта Жорданова матрица представляет собой один ящик, состоящий из 4 ячеек единичного размера.

Надеюсь, читатель уже понял, что размеры ячеек для Жордановой матрицы оператора с собственным числом четвертой  кратности могут быть 2+2, 1+1+1+1, 3+1, 2+1+1. Нет принципиально иных вариантов разбиения на ячейки ящика размером 4 на 4. Поэтому понятна следующая мысль: в алгебре информация о количестве ящиков и размерах их ячеек может служить основой для классификации линейных операторов. (Но пришла она в алгебру из теории систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, в которой играет наиважнейшую роль средства классификации систем по типу поведения их решений).

Жорданова нормальная форма для каждого оператора единственна (если еще оговорить мелочь, - правило, что единички стоят выше диагонали, порядок следования ящиков, - например, по убыванию модулей собственных чисел, - порядко следования ячеек в ящиках, - обычно по  убыванию их размеров). Разные матрицы могут иметь одинаковую Жорданову форму. Такие матрицы можно рассматривать как один и тот же оператор, но записанный в разных системах координат.

В теории систем линейных дифференциальных уравнений dX/dt=AX  Жорданова форма  служит основой исчерпывающей классификации систем по типу поведения их решений X(t) как функций времени t (но с дополнительной информацией о комплексности, вещественности или мнимости собственных чисел и знаке их вещественной части, если она имеется). Мы на этом задерживаться в этой статье не будем, но, надеюсь,  читателю-студенту становится ясной чрезвычайная важность теории Жордановой формы.

2. Жорданов базис, Жорданова башня.

Базис векторного пространства, в котором  матрица оператора имеет вид одной сплошной ячейки, должен обладать свойством ("цикличность"), которое мы сейчас получим на основе правила "столбцы матрицы = образы базисных векторов", упомянутого выше.

Итак, пусть матрица A линейного оператора в некотором базисе e₁,e₂,e₃,e₄   имеет вид одной ячейки: 

Здесь q обозначает некое, известное нам число.

Очевидно, векторы базиса e₁,e₂,e₃,e₄ можно записать в виде линейных комбинаций векторов этого же базиса. Так, например:

e₁ = 1e₁ + 0e₂+0e₃+ 0e₄ .

Это означает, что координаты вектора e₁ в этом базисе равны (1,0,0,0).

Если мы умножим нашу матрицу на столбец (1,0,0,0), то получим, очевидно, ее первый столбец, то есть (q,0,0,0). Но ведь это означает, что Ae₁= qe₁, то есть e₁- собственный вектор, q - собственное число.

Как нетрудно проверить (проделайте это сами), верно и обратное: если первый базисный вектор   является по совместительству собственным вектором оператора с собственным числом q, то первый столбец матрицы оператора в таком базисе = (q,0,0,0).

Запишем равенство Ae₁= qe₁ в другом виде: (A- qE)e₁ = 0   или Be₁ = 0 (где B = A - qE).

Теперь займемся вторым базисным вектором e₂. Его координаты равны (0,1,0,0). Умножив на столбец (0,1,0,0) нашу матрицу, мы получим в качестве результата ее второй столбец (1,q,0,0). Это означает, что

Ae₂= qe₂+ e₁        или      (A- qE) e₂ = e₁       или       Be₂ = e₁.

Точно так же получаются равенства

Be₃ = e₂    и    Be₄ = e₃.

В итоге мы приходим к выводу:

если матрица оператора A в некотором базисе имеет вид Жордановой клетки (ячейки) с числом q на диагонали и с единичкам над ней, то векторы базиса превращаются друг в друга под воздействием оператора B=A-qE:

В этой цепочке стрелки (слева направо) показывают, что из каждого базисного вектора получается под воздействием оператора B. (Вообще-то схемы со стрелками принято называть ориентированными графами).

Базис с указанным выше свойством в алгебре называют циклическим (но Вы не станете намного умнее, если будете знать этот термин).

Посмотрим теперь, какими свойствами будет обладать базис, в котором матрица оператора имеет вид

то есть состоит из двух ячеек второго порядка. Повторяя те же рассуждения (обязательно проделайте сами) находим:

Кто-то догадался для наглядности рисовать такие связи между базисными векторами вертикально:
 

Такие схемы и стали называть Жордановыми башнями.

Запомните принципы связи "башенной" схемы с Жордановой формой матрицы:

1. одна башня - один ящик в Жордановой матрице;
2. одна вертикаль башни - одна клетка ящика (высота вертикали = размер клетки);
3. этажи одной вертикали (снизу вверх) отвечают столбцам Жордановой матрицы (слева направо, при условии, что единички мы пишем над диагональю).

Почему это так, - см. примеры выше.

Приведу еще примеры. Для матрицы вида  

рисунок будет почти тот же, что и выше (см.), но с существенной оговоркой: вдоль левой вертикали будет действовать (сверху вниз) оператор B₁ = A-q₁E, а вдоль правой вертикали - оператор B₂ = A-q₂E. То есть эти вертикали будут разными башнями.

Еще пример. Для схемы из двух башен

соответствующая ей Жорданова форма матрицы будет

__________________________________________________________

Теперь рассмотрим структуру произвольной отдельной башни.

В каждой башне принято выделять вертикали и этажи (например, см. рисунок выше).

На одной вертикали расположены векторы, которые отображаются оператором B друг в друга (сверху вниз). 

На первом этаже башни расположены собственные векторы, - они под воздействием оператора B отображаются в "подвал" башни - то есть в ноль.

Над ними располагаются "присоединенные"   к ним векторы.
Еще выше располагаются векторы (если они есть), присоединенные к присоединенным и т.д.

Первый этаж одной башни (собственные векторы, соответствующие одному собственному числу) представляет собой базис подпространства решений системы BX=0. Это подпространство принято называть ядром оператора B и обозначать kern B. Его еще называют нуль-пространством оператора B.

Первые ДВА этажа одной башни представляют собой базис подпространства решений системы B²X = 0 (т.е. множества векторов, которые обнуляются не более чем за два применения к ним оператора B),  - они являются базисом подпространства kern B².

Второй этаж одной башни образуют те векторы, которые обнуляются ровно двукратным применением оператора B, т.е. они обнуляются оператором B² , но не обнуляются оператором B (поскольку отображаются им в векторы первого этажа,см., например, схему башни выше).

Первые ТРИ этажа - базис подпространства kern B³.

Третий этаж одной башни образуют те векторы, которые обнуляются ровно трехкратным применением оператора B, т.е. они обнуляются оператором B³ , но не обнуляются меньшим количеством применений оператора B (поскольку отображаются им в векторы второго или первого этажа, см. схему башни).

И т.д.  

Этих сведений достаточно, чтобы понять строительство снизу вверх.

Строительство снизу вверх

Этот алгоритм наиболее прост для понимания и частенько он достаточен для решения конкретной учебной задачи.

Первое, что приходит в голову каждому желающему построить Жорданов базис (башню), -
найти собственные числа _i .
Затем вычислить матрицы B_i = A -_i E.
Затем, решая системы уравнений B_iX=0 найти собственные векторы, т.е. первый этаж.

На этом рисунке изображен случай матрицы, имеющей три различных собственных числа.
Причем первые два имеют двумерные пространства собственных векторов.

Затем, решая системы уравнений вида B_iY = X, где вектор X взят из первого этажа, искать векторы, присоединенные к собственным, то есть второй этаж.

Следующим шагом была бы попытка найти векторы, присоединенные к присоединенным, т.е. третий этаж. И так далее. Это и есть строительство Жордановой башни снизу вверх.

Если бы строительство закончилось вторым этажом, как на предыдущем рисунке, то Жорданова форма матрицы имела бы вид

Здесь выделены ящики (блоки). Ячейки не выделены. Сделайте это сами.

При отыскании векторов на все более высоких этажах одной вертикали нужно будет решать систему уравнений с одной и той же матрицей B, но с разными правыми частями (взятыми со все более высоких этажей).   Разумеется, возможно некоторое упрощение этой работы, которое заключается в том, чтобы при строительстве первого этажа, в процессе решения системы BX=0 методом Гаусса, запомнить итоговое преобразование, приводящее матрицу B к виду трапеции, и затем применять это преобразование для получения следующих этажей.

Однако на этом пути новичка поджидает неожиданность:

не каждый собственный вектор имеет присоединенный.

Поясняю. Для отыскания собственных векторов (первого этажа башни) мы решаем систему BX=0.
Матрица B вырождена (мы сами так подбираем число в матрице B = A - E ) и наша система обязательно будет иметь бесконечно много решений. Представьте себе, что таких решений - двумерное подпространство (плоскость). Мы ведь можем по - разному выбрать два базисных вектора X₁, X₂ этого подпространства (плоскости), чтобы поставить их в первый этаж башни. А теперь представьте себе, что второй этаж башни состоит из одного вектора Y₁  (как у первых двух вертикалей рисунка выше), который не желает под воздействием оператора B отображаться ни в вектор X₁,  ни в вектор X₂ , выбранные нами, а желает отображаться в третий, лежащий в той же плоскости, но направленный между ними!

То есть при строительстве снизу вверх можно ошибиться с выбором опор колонн и второй этаж как бы повиснет в воздухе: система уравнений BY = X   может не иметь решений из-за неудачного выбора Вами собственного вектора X для первого этажа.

Как бороться с этой неприятностью - я покажу ниже на примере. Скажу сразу, что метод не устраняет неприятность целиком, - после построения второго этажа может оказаться, что не выстраивается третий, и придется перестраивать нижние этажи заново. То есть у алгоритма "строительства снизу вверх" есть неприятная особенность. Вероятно именно из-за нее никто, кажется, до сих пор не описал этот алгоритм полностью. Вот и я буду вынужден ограничиться разбором примера.

Строительство сверху вниз.

Способ строительства, свободный от этой неприятности, - строить башню сверху вниз, начиная с верхнего этажа. Действительно, если бы мы знали верхний этаж, то получить все нижние этажи колонны, на которой он стоит, можно было бы безо всяких размышлений, - просто действуя оператором B (можно действовать до тех пор, пока не получим 0, т.е. вплоть до попадания в подвал башни).

Но этот способ содержит необычные вычисления по отысканию верхнего этажа и балконов (выступающих частей) нижних этажей. В книжках их сопровождают новыми понятиями: "относительной линейной зависимостью векторов" и "относительным базисом". Если ограничиться лишь проблемой решения задач, то их, вообще-то, можно избежать. Они нужны тогда, когда хочется разобраться в теории этого вопроса.

Пример строительства снизу вверх.

Для заданной матрицы указать ее Жорданову форму и предъявить базис, в котором матрица имеет Жорданов вид.
 

Вычисляем характеристический полином, т.е. определитель |A-pE| = p⁴ - 12p³ + 54p² - 108p + 81 = (p-3)⁴.

Корень полинома (собственное число матрицы)    p = 3; его кратность = 4.

Вычисляем матрицу B = A - pE:
 

Теперь ищем векторы первого этажа, те, которые удовлетворяют системе BX=0 (где B = A-pE).

Прибавляя первое уравнение системы BX=0 к остальным, получим, что вся система эквивалентна одному первому уравнению (т.е. ранг матрицы B равен 1):

-1 x₁ + 2 x₂ - 1 x₃-2 x₄= 0 .

Положим три неизвестных равными свободным переменным:

x₂ = t₁ , x₃ = t₂ , x₄ = t₃ .

Тогда x₁ = 2 t₁ - 1 t₂ - 2 t₃. Группируя коэффициенты при свободных переменных, получим векторную запись (в виде векторов - столбцов) общего решения системы BX=0:

Эти три столбца являются базисом пространства собственных векторов (метод Гаусса гарантирует их линейную независимость, но она и так видна - по трем последним строкам). Возьмем их в качестве первого этажа башни.

Теперь попробуем найти векторы второго этажа. Для этого будем искать векторы-столбцы, которые под воздействием оператора B превращаются в какой-либо из этих трех. Будем решать методом Гаусса одновременно три системы с одной и той же матрицей B и с тремя правыми частями (правые части - векторы первого этажа, соответствующие одному собственному числу).

После прибавления первого уравнения к остальным мы получили систему уравнений, в которой, как видно, три нижних уравнения не могут быть удовлетворены никакими значениями неизвестных из-за того, что левые части этих уравнений тождественно равны нулю, а в правых частях всех трех систем (всех трех столбцов справа) имеются ненулевые числа. То есть мы имеем как раз упомянутую выше неприятность: мы неудачно выбрали базисные векторы для множества решений системы BX=0 (первый этаж башни) и второму этажу нашей башни не на что опереться, -  не существует векторов, которые бы под воздействием оператора B превращались в один из трех векторов первого этажа башни (трех последних столбцов нашей расширенной матрицы).

Чтобы система с матрицей как у нас имела решение, необходимо и достаточно, чтобы правая ее часть имела три нижних числа нулевыми, а верхнее число может быть каким угодно (что равноценно утверждению теоремы Кронекера-Капелли, верхнее число обозначено звездочкой).

Поэтому поищем такие линейные комбинации последних трех векторов - столбцов, которые бы имели нули в трех нижних строках.

Решаем подсистему методом Гаусса (использованы только три нижних строки):

Решением этой (под)системы уравнений является тройка одинаковых чисел (t, t, t). Т.е. нужные нам векторы первого этажа получаются, если из наших трех векторов образовать линейную комбинацию с одинаковыми коэффициентами. Ясно, что такие комбинации образуют одномерное подпространство. Ясно, что можно взять любую из них - например, просто сумму наших трех векторов, и заменить ею один из наших векторов, например, первый. Мы тогда получим другой базис для того же самого подпространства решений системы BX=0:

Но первый из векторов базиса теперь имеет прообраз, т.е. вектор над ним в башне. Этот вектор, присоединенный к e₁, мы обозначим e₂, и получим его, решая систему BX= e₁ .

Решение неоднородной системы BX= e₁ состоит из общего решения системы BX=0 (оно уже у нас есть, векторы e₁, e₃, e₄ образуют его базис) и плюс частное решение неоднородной системы, которое можно выбрать как угодно из имеющихся в наличии. Мы выбрали (1,0,0,0).

Итак, мы имеем базис, обладающий Жордановой структурой:

Это - одна башня (потому что собственное число одно), у нее два этажа и три вертикали.

Если теперь составить матрицу C из старых координат новых базисных векторов e₁- e₄, то по формуле замены матрицы C ^-1AC получим Жорданову форму:

Напоминаю: то, что получится именно такая матрица, можно увидеть и не производя этого умножения. Достаточно переписать соотношения башни ( Be₂ = e₁, Be₃ = 0,  Be₄ = 0 в терминах оператора A и вспомнить, что столбцы матрицы = координаты образов базисных векторов).

Напоследок напомню, что при большем числе этажей башни становится гораздо более отчетливым масштаб неприятности - необходимости перестройки нижних этажей при достройке следующих. Нам в этом примере пришлось всего лишь базис поменять на первом этаже. А при строительстве десятого этажа может понадобиться переделка всех нижних девяти.

Пример строительства сверху вниз
(заново разбираем задачу, выше решенную методом снизу вверх)

1). Вычислили собственное число (оно равно 3 и имеет кратность 4, - см. выше).  Собственное число одно, значит башня - одна. Его кратность =4, значит, в башне на всех этажах- 4 вектора.

2). Вычислили матрицу B = A - 3E.

3). Вычислили ранг матрицы B. Он равен 1.

4). Вычислили матрицу B². Она оказалась нулевой. Ее ранг равен 0.

5). Матрица B³, естественно, нулевая и ее ранг равен 0. Т.е. поймали степень матрицы ( =2), начиная с которой ранг не уменьшается (в нашем примере - просто некуда уменьшаться). Это означает, что в башне два этажа.

6). Ищем "крышу" башни, - векторы второго этажа. Для этого решаем задачу: B²X=0 и при этом BX должно быть не равно 0, - именно этим условиям отвечают векторы второго этажа.

Нам надо не просто решить систему B²X=0, но выделить такие решения, чтобы BX не равнялось 0. Как это делается? Выберем какой-либо базис множества решений системы B²X=0.

Обычно он автоматически получается в результате применения метода Гаусса. Но в нашем примере решение системы B²X=0 , - все пространство векторов X (из-за того, что B²=0). Это облегчает нам работу, - не надо систему B²X=0 решать, - возьмем в качестве базиса векторы (1,0,0,0)^T и т.д.

Затем решим систему BX=0. Возьмем базис пространства ее решений (мы его уже получали выше, когда рассматривали строительство снизу вверх). А теперь дополним его до базиса пространства решений системы B²X=0. Для этого напишем их рядом: сначала базис пространства решений задачи BX=0, потом базис пространства решений системы B²X=0.

Теперь методом Гаусса по столбцам зарабатываем нули в правой части, но с одним ограничением: нельзя прибавлять столбцы из правой части в левую, а из левой части в правую - можно. Цель - чтобы в правой части остались векторы, дополняющие векторы левой части до базиса оболочки векторов правой части этой матрицы.

В границах левой части матрицы векторы-столбцы   линейно независимы между собой, в границах правой части - тоже. Поэтому, если работать только внутри левой части или только внутри правой части, - нулевой столбец получить невозможно.

Векторы левой части составляют базис некоторого подпространства, а правой части - всего пространства.
Ни один из векторов правой части не обязан лежать в подпространстве, являющемся линейной оболочкой векторов левой части. Поэтому нет особой надежды на то, что будут обнуляться столбцы правой части матрицы именно в том виде, каком мы их написали. Но вот их комбинации могут и должны там оказаться.

У нас ранг матрицы = 4, а столбцов =7. Три столбца в левой части линейно независимы. Нам нужно к ним присоединить какой-то один из правой части (такой обязательно есть, в противном случае получалось бы, что все четыре столбца правой части являются векторами подпространства, для которого базисом являются левые три столбца). Три столбца в правой части нужно и можно обнулить.

Самый тупой и легко алгоритмизуемый способ - зарабатывать, как всегда, треугольную матрицу.

Но в нашей задаче можно поступить красивее. Первые три столбца вычесть из последних трех, соответственно. В итоге в правой части получатся столбцы у которых три нижних числа - нули. Потом с помощью 4-го столбца расширенной матрицы обнулить последние три (см. запись матриц выше).

Вот этот-то оставшийся в живых столбец в правой части и нужен был нам.

Именно он является верхним этажом. Почему? Потому что он обнуляется квадратом матрицы B (лежит в  оболочке правых четырех столбцов), не обнуляется ею самой (не лежит в оболочке левых трех столбцов), и вместе с тремя первыми столбцами составляет базис всего пространства.

Подействуем на него матрицей B. Получится вектор на первом этаже под ним.

Это вектор (-1,1,1,1). Он - один из векторов первого этажа. Его достоинство - он является опорой для второго этажа. Надо его дополнить до базиса пространства решений задачи BX=0, т.е. добавить к нему два вектора, которые бы вместе с ним давали первый этаж.

Опять пишем матрицу из двух частей. В левой части - вектор, который мы хотим дополнить до базиса, в правой части - уже имеющийся в нашем распоряжении базис пространства решений системы BX=0.

Опять рассуждения те же и опять из них вытекает правило: их левой части в правую прибавлять можно, из правой в левую - нельзя.

И здесь можно зарабатывать треугольник, но в данной задаче проще заметить, что сумма трех последних столбцов равна первому, и, значит, прибавив второй и третий столбец к четвертому, мы сможем его обнулить, вычитая первый.

В итоге остаются три линейно независимых вектора, являющихся базисом, равноценным последним трем векторам, но содержащим первый вектор. Это и есть векторы первого этажа. Остальное - как в предыдущем решении.

В более сложных примерах потребуется отыскивать не только "крышу" башни, но и "балконы" - верхние векторы не самых высоких в башне вертикалей. Это делается аналогично описанному.

Напоследок

Осталось заметить, что Жорданов базис, в отличие от Жордановой нормальной формы, - не единствен. Можно, например, умножить все векторы базиса на одно и то же число, тогда на это число умножится матрица перехода C, но на произведении C^-1AC это никак не отразится, - ведь в матрице C^-1 этот же множитель попадет в знаменатель.

Если читатель хочет понять причины, порождающие  алгоритмы строительства,  - он соблаговолит заглянуть сюда.

02.07.2001.